Компактное пространство: Недопустимое название | Математика | Fandom

Компактное множество | это… Что такое Компактное множество?

ТолкованиеПеревод

Компактное множество

Компа́ктное простра́нство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Содержание 1 Связанные определения 2 Свойства 3 Примеры компактных множеств 4 История 5 Литература

Связанные определения

• Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
• Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
• Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
• Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
• Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
• Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

• Общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно .
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • В компактных пространствах каждое центрированное семейство замкнутых множеств, т.е. семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение. См. также Лемма о вложенных отрезках.

• Свойства компактных метрических пространств:
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
  • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля. См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса.
  • Лемма Лебега: Для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия существует положительное число такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше , содержится в одном из множеств . Такое число называется числом Лебега.
  • В компактных пространствах каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.

Примеры компактных множеств

• замкнутые и ограниченные множества в
• конечные подмножества в пространствах, удовлетворяющих аксиоме отделимости
• теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство C(X) вещественных функций на метрическом компактном пространстве X с нормой . Тогда замыкание множества функций F в C(X) компактно тогда и только тогда, когда F равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
• пространство Стоуна булевых алгебр
• компактификация топологического пространства

История

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
• Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

• Компактная цифровая камера
• Компакт кассета

Полезное

Компактное пространство | это… Что такое Компактное пространство?

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, включающий

• Все пространства с конечным числом точек;
• Все замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства.

В топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 Свойства 4 Примеры компактных множеств 5 История 6 Литература

Определение

Компа́ктное простра́нство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Связанные определения

• Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
• Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
• Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
• Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
• Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
• Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

• Общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • В компактных пространствах каждое центрированное семейство замкнутых множеств, т.е. семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение. См. также Лемма о вложенных отрезках.

• Свойства компактных метрических пространств:
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
  • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля. См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса.
  • Лемма Лебега: Для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия существует положительное число такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше , содержится в одном из множеств . Такое число называется числом Лебега.
  • В компактных пространствах каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.

Примеры компактных множеств

• замкнутые и ограниченные множества в
• конечные подмножества топологических пространств
• теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство вещественных функций на метрическом компактном пространстве с нормой . Тогда замыкание множества функций в компактно тогда и только тогда, когда равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
• пространство Стоуна булевых алгебр
• компактификация топологического пространства

История

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют

счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
• Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.

Общая топология

. Что ДЕЙСТВИТЕЛЬНО означает компактность метрического пространства?

Я сделаю все возможное, чтобы мотивировать это определение.

Допустим, $y$ «близок» к $x$, если расстояние между $x$ и $y$ меньше $1$. Теперь мы знаем, что — с этим определением «близко» — все в $\Bbb R$ «близко» к чему-то в $\Bbb Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2, \точки\}$. Кроме того, довольно легко увидеть, что мы не можем заменить $\Bbb Z$ конечным множеством. С таким определением «закрыть» $\Bbb R$ равно

, а не «близко» к любому конечному множеству.

А как насчет $(0,1)$? Что ж, с таким определением «близко» все близко к $\frac12$. Однако что, если мы изменим наше определение закрытия? Мы можем сделать определение «близко к $x$» зависимым от $x$. Например, допустим, что $y$ «близок» к $x$, если $y\in(\frac x2,1)$. (Извините, это больше не симметричное отношение.) Теперь можем ли мы сказать, что все в $(0,1)$ «близко» к некоторому конечному множеству? Нетрудно показать, что теперь никакое конечное множество не работает. Мы видим, что все в $(0,1)$ близко к чему-то в $\{\frac12,\frac14,\frac18,\dots\}$, но мы не можем сказать, что это «близко» к некоторому конечному множеству .

Таким образом, существует несколько возможных определений слова «близко». Может ли что-нибудь из быть определением «близко»? Нет, это было бы слишком скучно. Мы знаем, что одно должно быть верным в отношении определения «близко»: множество вещей, «близких» к $x$, должно быть некоторым открытым множеством, содержащим $x$. (Я не хочу, чтобы набор точек, «близких» к $0$, был, например, $[0,1)$, поскольку это означает, что ни одно отрицательное число не «близко» к $0$.) Я не хочу не заботится ни о чем другом; пока это удовлетворяет этому, это правдоподобное определение «близко» для меня.

И $[0,1]$? Это труднее доказать, но оказывается, что независимо от того, какое определение «близко» вы придумаете, я могу найти конечное множество $A$ такое, что все в $[0,1]$ «близко» к нему. . Что приводит нас к:

Пространство $X$ называется компактным , если для любого определения «близости», которое вы можете придумать (в указанном выше смысле), существует конечное множество $A$, такое что все в пространстве близко к чему-то в $А$.

На этом мы заканчиваем полезное определение, потому что теперь, вместо изучения всего (потенциально бесконечного) пространства $X$, нам обычно действительно нужно обращать внимание только на конечное подмножество. Однако в такой формулировке это не слишком полезно. Честно говоря, это выглядит недостаточно официально.

Как сделать это более формальным? Что ж, пусть согласовано определение «близко», и пусть $O_x$ будет множеством точек, «близких» к $x$. Ясно, что $\{O_x:x\in X\}$ покрывает $X$ (поскольку каждая точка $a$ покрывается $O_a$). Если бы пространство было компактным, приведенное выше определение говорит, что существует конечное множество $A$, такое что $\{O_x:x\in A\}$ покрывает $X$. То есть было бы конечное подпокрытие . Если бы пространство не было компактным, определение «закрытости» не работало бы — и, следовательно, покрытие $\{O_x:x\in X\}$ без конечного подпокрытия.

Все это приводит к нашему эквивалентному определению:

Пространство $X$ компактно , если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.

гн.общая топология — Как понять концепцию компактного пространства

спросил 12 лет, 10 месяцев назад

Изменено 12 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 22к раз

$\begingroup$

определение компактного пространства: подмножество K метрического пространства X называется компактным, если каждое открытое покрытие K содержит конечные подпокрытия. В чем смысл определения пространства как «компактного». Я нашел объяснение в Википедии: «В математике, а точнее в общей топологии и метрической топологии, компактное пространство — это абстрактное математическое пространство, в котором интуитивно всякий раз, когда кто-то делает бесконечное количество «шагов» в пространстве, в конечном итоге должен получить сколь угодно близкой к какой-то другой точке пространства». Я не могу этого понять или, по крайней мере, не могу получить этого по его определению. Кто-нибудь может мне помочь?

• гл.обще-топология
• мотивация

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Некоторые эвристические замечания полезны только для части читателей. (Возможно, это справедливо для всех эвристик как метаэвристик — если все принимают грубое объяснение, это нечто большее.) космос. На реальной линии вы можете сделать это влево или вправо: но согните линию, чтобы заполнить все точки круга, кроме одной (которая компактна), и вы увидите разницу, имея «другую точку», возле которой вы в конечном итоге . Этот пример сравнения реальной линии с кругом слишком прост. Другой способ «уйти в бесконечность» в пространстве — это бесконечно разветвляющиеся пути (как в лемме Кёнига, которая обеспечивает другой вид интуиции).

Компактность является основным топологическим понятием, потому что различные способы, которыми вы можете попытаться «поймать» движение в пространстве, чтобы предотвратить «уход» в бесконечность, можно суммировать в одной идее (скажем, для метрических пространств). Определение с помощью открытых множеств чище, но определение с помощью последовательностей, которые должны накапливаться на самих себе (не обязательно сходиться, но иметь по крайней мере одну сходящуюся подпоследовательность), несколько быстрее сказать. Если вы ограничите внимание пространствами, которые являются многообразиями, вы можете думать о непрерывных путях и о том, должны ли они возвращаться близко друг к другу или нет.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

У Терри Тао есть хорошее объяснение в Принстонском компаньоне по математике. Статья также находится на его сайте:

http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/compactness.pdf

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Этимология может помочь. Compact , от латинского Compactus , причастие прошедшего времени глагола Compingere : «плотно и прочно упаковывать». Вы можете понять, насколько сильна гипотеза компактности, если посмотрите, что происходит, когда отсутствует даже полная ограниченность.

Просто рассмотрите, например. возможно, самый знакомый бесконечномерный объект, сепарабельное гильбертово пространство H=l ₂ . Его единичный замкнутый шар не компактен. Непрерывная вещественнозначная функция на нем может быть неограниченной или ограниченной без минимального и максимального значения. Линейная форма на H может быть всюду разрывной и локально неограниченной. Существует непрерывное преобразование единичного замкнутого шара без неподвижных точек. Сам шар втягивается на свою границу. В шар радиуса $1+ \sqrt{2}$ можно упаковать бесконечно много непересекающихся единичных открытых шаров. Линейная группа GL(H) связна. Существуют инъективные линейные непрерывные преобразования H, которые не являются сюръективными…. 9n$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено (теорема Гейне-Бореля) и что образ компактного пространства при непрерывном отображении компактно. Компактность достаточная условие на пространстве, чтобы гарантировать, что все непрерывные функции в $\mathbb{R}$; кроме того, компактность есть чисто топологическая свойство, определимое в терминах открытых множеств.

Цитата из Википедии немного расплывчата, но она относится к свойству называется секвенциальной компактностью, которой обладают все компактные метрические пространства. Это означает, что для любой последовательности точек пространства $X$ существует подпоследовательность, сходящаяся к точке $X$. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда он секвенциально компактен, но это не выполняется для неметризуемых топологических пространств.

Мне не нравится цитата из Википедии, так как она предполагает, что последовательности в компактах должны сходиться; это не так, хотя они должны иметь сходящиеся подпоследовательности.

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Очень хорошее изложение было дано Хьюиттом в этой статье в Ежемесячнике; центральный тезис состоит в том, что компактность облегчает доказательство результатов, которые почти тривиальны для конечных множеств в более широких условиях.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

В некотором смысле, вы ВСЕГДА можете думать о компактности как о «последовательной компактности», если вы допускаете вещи немного более общие, чем последовательности-сети.